Bézout's identity
두
정수와 그 최대공약수의 연관성을 나타내는 등식이다.
목차
1. 진술
1.1. 증명
1.2. 명제의 역
2. 일반화
2.1. 셋 이상의 정수
2.2. 다항식환
2.3. 추상화
3. 참고 문헌
4. 영상
적어도 하나가 영이 아닌 a,b\in\mathbb{Z}에 대해 \gcd(a,b)=d이면 d=au+bv를 만족하는 u,v\in \mathbb{Z}가 존재한다. 또한 d는 au+bv 꼴로 나타낼 수 있는 최소의 양의 정수이다.
집합
S를 다음과 같이 정의하자.
S=\{ax+by: x,y\in \mathbb{Z},ax+by\ge 0\}
그러면
S\subseteq \mathbb{N}이고
a\ne 0 또는
b\ne 0이므로
a^2+b^2>0이다. 따라서
a^2+b^2\in S이므로,
S는 공집합이 아니다. 따라서 정렬순서공리에 의해
S의 양의 최소원소가 존재한다. 이 원소를
t라 하자. 그러면
t=au+bv를 만족하는
u,v\in \mathbb{Z}가 존재한다. 한편 나눗셈 정리에 의해
인
q,r\in \mathbb{Z}이 존재하고 이때
0\le r <t이다. 따라서
r=a-tq=a-(au+bv)q=a(1-uq)+b(vq)
이다. 따라서
r\in S인데,
S의 최소원소가
t이므로
r<t이다. 그런데
r이 양수라면
t가
S의 양의 최소원소라는 것에 모순이므로
r=0이어야 한다. 따라서
a\mid t이다. 마찬가지 방법으로
b\mid t임을 보일 수 있다.
c\in \mathbb{Z}가
c\mid a이고
c \mid b라고 하자. 그러면
a=ck이고
b=cl인
k,l\in\mathbb{Z}가 존재한다. 따라서
t=au+bv=(ck)u+(cl)v=c(ku+lv)
이므로
c\mid t이다.
t>0이므로,
c\le t이다. 따라서
t는
a와
b의 최대공약수이므로
t=d이다.
d=1이라면 \gcd(a,b)=1과 1=au+bv를 만족하는 u,v\in\mathbb{Z}가 존재한다는 것은 동치이다. 정수 a,b에 대해 1=au+bv를 만족하는 u,v\in \mathbb{Z}가 존재한다고 가정하자. 그러면 1\in S이다. \gcd(a,b)=d라고 하면 d는 S의 양의 최소원소이므로 d\le 1이어야 한다. 최대공약수의 정의에 의해 d\ge 1이므로, d=1이다.
d\ge 2라면 정리의 역은 성립하지 않는다.
a_1,a_2,\cdots,a_n이 적어도 하나는 영이 아닌 정수이고 \gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)=d라고 하자. 그러면 d=a_1u_1+a_2u_2+\cdots+a_nu_n인 u_1,u_2,\cdots,u_n\in \mathbb{Z}이 존재한다.
체 F와
a(x),b(x)\in F[x]에 대해
a(x)와
b(x) 중 하나는 영이 아니라고 하자. 그러면
a(x)와
b(x)의 최대공약수
d(x)\in F[x]가 존재하고
d(x)=a(x)u(x)+b(x)v(x)인
u(x),v(x)\in F[x]가 존재한다.
주 아이디얼 정역에서는 베주 항등식이 항상 성립한다. 베주 항등식이 성립하는 정역을 베주 정역이라 한다.
3. 참고 문헌 ✎
- 김응태 · 박승안(2012), 『정수론』 (제8판), 경문사. ISBN 9788961055956
- Hungerford, T. (2014). Abstract algebra: An introduction (3rd ed., International ed.). Australia: Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 1111573336
